特征值为0说明什么,正交矩阵的特征值为什么是1或负1？ _生活知识

【特征值为0说明什么,正交矩阵的特征值为什么是1或负1？】0特征值一定对应三个线性无关特征向量是对的，但是0特征值不一定是三重根，只能说至少三重，也可能四重。
分类讨论：
1.在已知该矩阵可相似对角化的前提下，可断言0必为三重根，且对应三个无关特征向量；
2.倘若尚且未知该矩阵是否可对角化，则只可得知0为特征值，重数不小于三，且对应三个无关的特征向量；其他信息无法判定，需要先判断矩阵是否可对角化或先求出其特征值，再做判断。
原因：你用特征多项式求的重数是代数重数，用维数减秩得到的是几何重数。
几何重数≤代数重数，题目给的是几何重数，你想求的是代数重数，至于取小于号还是等于号，已知信息无法判定，看上面讨论。具体此处不证，你可以自己找找反例。

文章插图
正交矩阵的特征值为什么是1或负1？
设λ是正交矩阵A的特征值， x是A的属于特征值λ的特征向量。
即有Ax=λx ，且x≠0 ，
两边取转置，得x^TA^T=λx^T ，
所以x^TA^TAx=λ^2x^Tx 。
因为A是正交矩阵，所以A^TA=E ，
所以x^Tx=λ^2x^Tx 。
由x≠0知x^Tx是一个非零的数。
故λ^2=1 ，
所以λ=1或-1 。